Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число u, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) «задана функция точки»; задание функции символически выражается равенством вида u=f(M). Число u, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Например, если А - фиксированная точка плоскости, М - произвольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном случае f(m)=AM.

Пусть дана некоторая функция u=f(M) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами x, y. Соответственно этому и значение данной функции в точке М определяется координатами x, y, или, как еще говорят, u=f(M) есть функция двух переменных x и y . Функция двух переменных x и y обозначается символом f(x; y): если f(M)=f(x;y), то формула u=f(x; y) называется выражением данной функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере f(M)=AM; если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:

u=sqrt(x^2 + y^2)

ЗАДАЧА 3688 Дана функция f (x, y)=x^2–y^2–16.

Дана функция f (x, y)=x^2–y^2–16. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если координатные оси повернуты на угол –45 градусов.

Параметрические уравнения линии

Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки М; рассмотрим две функции аргумента t:

x=φ(t), y=ψ(t) (1)

При изменении t величины х и у будут, вообще говоря, меняться, следовательно, точка М будет перемещаться. Равенства (1) называются параметрическими уравнениями линии , которая является траекторией точки М; аргумент t носит название параметра. Если из равенств (1) можно исключить параметр t, то получим уравнение траектории точки М в виде

Уравнением линии на плоскости XOY называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. В общем случае уравнение линии может быть записано в виде 0), (yx. F или)(xfy

Пусть задана прямая, пересекающая ось у в точке В (0, в) и образующая с осью х угол α Выберем на прямой произвольную точку М(х, у).

x y M N

Координаты точки N (x , в). Из треугольника BMN: k – угловой коэффициент прямой. k x by NB MN tg bkxy

Рассмотрим частные случаи: — уравнение прямой, проходящей через начало координат. 10 bkxy 2 bytg 00 — уравнение прямой, параллельной оси х.

т. е. у вертикальной прямой нет углового коэффициента. 3 22 tg — не существует Уравнение прямой, параллельной оси у, в этом случае имеет вид ax где а – отрезок, отсекаемый прямой на оси х.

Пусть задана прямая, проходящая через заданную точку2 и образующая с осью х угол α), (111 yx. M

Т. к. точка М 1 лежит на прямой, ее координаты должны удовлетворять уравнению (1): Вычитаем это уравнение из уравнения (1): bkxy 11)(11 xxkyy

Если в этом уравнении угловой коэффициент не определен, то оно задает пучок прямых, проходящих через данную точку, кроме прямой, параллельной оси у, не имеющей углового коэффициента. xy

Пусть задана прямая, проходящая через две точки: Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку М 1:), (111 yx. M), (222 yx. M)(11 xxkyy

Т. к. точка М 2 лежит на данной прямой, подставим ее координаты в уравнение пучка прямых:)(1212 xxkyy 12 12 xx yy k Подставляем k в уравнение пучка прямых. Тем самым мы выделяем из этого пучка прямую, проходящую через две данные точки:

1 12 12 1 xx xx yy yy или 12 1 xx xx yy yy

РЕШЕНИЕ. Подставляем координаты точек в уравнение прямой, проходящей через две точки. 53 5 42 4 xy)5(8 6 4 xy 4 1 4 3 xy

Пусть задана прямая, отсекающая на осях координат отрезки, равные а и в. Это значит, что она проходит через точки)0, (a. A), 0(b. B Найдем уравнение этой прямой.

xy 0 ab

Подставим координаты точек А и В в уравнение прямой, проходящей через две точки (3): a ax b y 00 0 a ax b y 1 ax b y 1 b y a x

ПРИМЕР. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2, -1) если она отсекает от положительной полуоси у отрезок, вдвое больший, чем на положительной полуоси х.

РЕШЕНИЕ. По условию задачи, ab 2 Подставляем в уравнение (4): 1 2 a y a x Точка А(2, -1) лежит на этой прямой, следовательно ее координаты удовлетворяют этому уравнению: 1 2 12 aa 1 2 41 a 23 a 1 35. 1 yx

Рассмотрим уравнение: Рассмотрим частные случаи этого уравнения и покажем, что при любых значениях коэффициентов А, В (не равных нулю одновременно) и С, это уравнение есть уравнение прямой на плоскости. 0 CBy. Ax

Тогда уравнение (5) можно представить в виде: Тогда получаем уравнение (1): Обозначим: 10 B B C x B A y k B A b B C bkxy

Тогда уравнение имеет вид: Получаем уравнение: — уравнение прямой, проходящей через начало координат. 2000 CAB x B A y 3 000 CAB BC y — уравнение прямой, параллельной оси х.

Тогда уравнение имеет вид: Получаем уравнение: — уравнение оси х. 40 y 5 000 CAB — уравнение прямой, параллельной оси у. 000 CAB A C x

Тогда уравнение имеет вид: — уравнение оси у. 60 x 000 CAB Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных нулю одновременно) и С, уравнение (5) есть уравнение прямой на плоскости. Это

Пусть на плоскости  задана декартова прямоугольная система координат Оху и некоторая линия L.

Определение . Уравнение F(x;y)=0 (1) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на линии L.

Т.о. линией на плоскости называется геометрическое место точек {M(x;y)}, координаты которых удовлетворяют уравнению (1).

Уравнение (1) определяет линию L.

Пример. Уравнение окружности.

Окружность – множество точек, равноудаленных от заданной точки М 0 (х 0 ,у 0).

Точка М 0 (х 0 ,у 0) – центр окружности .

Для любой точки М(х;у), лежащей на окружности, расстояние ММ 0 =R (R=const)

ММ 0 ==R

(х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 =R 2 –(2) – уравнение окружности радиуса R с центром в точке М 0 (х 0 ,у 0).

Параметрическое уравнение линии.

Пусть координаты х и у точек линии L выражаются при помощи параметра t:

(3) – параметрическое уравнение линии в ДСК

где функции (t) и (t) непрерывны по параметру t (в некоторой области изменения этого параметра).

Исключая из уравнения (3) параметр t, получим уравнение (1).

Рассмотрим линию L как путь, пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. Пусть переменная t представляет собой время, отсчитываемое от некоторого начального момента. Тогда задание закона движения представляет собой задание координат х и у движущейся точки как некоторых непрерывных функций х=(t) и у=(t) времени t.

Пример . Выведем параметрическое уравнение окружности радиуса r>0 с центром в начале координат. Пусть М(х,у) – произвольная точка этой окружности, а t – угол между радиус-вектором и осью Ох, отсчитываемый против часовой стрелки.

Тогда x=r cos x y=r sin t. (4)

Уравнения (4) представляют собой параметрические уравнения рассматриваемой окружности. Параметр t может принимать любые значения, но для того, чтобы точка М(х,у) один раз обошла окружность, область изменения параметра ограничивается полусегментом 0t2.

Возведя в квадрат и сложив уравнения (4), получим общее уравнение окружности (2).

2. Полярная система координат (пск).

Выберем на плоскости ось L (полярная ось ) и определим точку этой оси О (полюс ). Любая точка плоскости однозначно задается полярными координатами ρ и φ, где

ρ – полярный радиус , равный расстоянию от точки М до полюса О (ρ≥0);

φ –угол между направлением вектора ОМ и осью L (полярный угол ). М(ρ; φ)

Уравнение линии в ПСК может быть записано:

ρ=f(φ) (5) явное уравнение линии в ПСК

F=(ρ; φ) (6) неявное уравнение линии в ПСК

Связь между декартовыми и полярными координатами точки.

(х;у) (ρ; φ) Из треугольника ОМА:

tg φ=(восстановление угла φ по известному тангенсу производится с учетом того, в каком квадранте находится точка М).(ρ; φ)(х;у). х=ρcos φ, y= ρsin φ

Пример . Найти полярные координаты точек М(3;4) и Р(1;-1).

Для М:=5, φ=arctg (4/3). Для Р: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Классификация плоских линий.

Определение 1. Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, если она определяется уравнением F(x;y)=0 (1), в котором функция F(x;y) представляет собой алгебраический многочлен.

Определение 2. Всякая не алгебраическая линия называется трансцендентной .

Определение 3 . Алгебраическая линия называется линией порядка n , если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат эта линия определяется уравнением (1), в котором функция F(x;y) представляет собой алгебраический многочлен n-й степени.

Т.о., линией n-го порядка называется линия, определяемая в некоторой декартовой прямоугольной системе алгебраическим уравнением степени n с двумя неизвестными.

Установлению корректности определений 1,2,3 способствует следующая теорема.

Теорема (док-во на с.107). Если линия в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени n, то эта линия и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени n.

Равенство вида F(x, у) = 0 называется уравнением с двумя переменными х, у, если оно справедливо не для всяких пар чисел х, у. Говорят, что два числа х = x 0 , у = y 0 удовлетворяют некоторому уравнению вида F(x, y) = 0, если при подстановке этих чисел вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F(x, у) = 0» мы часто будем говорить короче: дана линия F(x, у) = 0.

Если даны уравнения двух линий F(x, у)= 0 и Ф(x, у) = 0, то совместное решение системы

F(x,y) = 0, Ф(х, у) = 0

дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения,

157. Даны точки *) M 1 (2; -2), М 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Установить, какие из данных точек лежат на линии, определенной уравнением х + y = 0, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)

158. На линии, определенной уравнением х 2 + у 2 = 25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)

159. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1)x - у = 0; 2) х + у = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) у + 2 = 0; 7) х = 0; 8) у = 0; 9) х 2 - хy = 0; 10) ху + у 2 = 0; 11) х 2 - у 2 = 0; 12) ху = 0; 13) у 2 - 9 = 0; 14) х 2 - 8x + 15 = 0; 15) у 2 + by + 4 = 0; 16) х 2 у - 7ху + 10y = 0; 17) у - |х|; 18) х - |у|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |у| = 0; 21) у = |х - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) х 2 + у 2 = 16; 24) (х - 2) 2 + {у- 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (у-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Даны линии: l)x + y = 0; 2)х - у = 0; 3)x 2 + у 2 - 36 = 0; 4) х 2 + у 2 - 2х + у = 0; 5) х 2 + у 2 + 4х - 6у - 1 = 0. Определить, какие из них проходят через начало координат.

161. Даны линии: 1) х 2 + у 2 = 49; 2) {х - 3) 2 + (у + 4) 2 = 25; 3) (х + 6) 2 + (y - З) 2 = 25; 4) (х + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) х 2 + у 2 - 12x + 16у - 0; 6) х 2 + у 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) х 2 + у 2 - 6х + 4у + 12 = 0. Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.

162. Найти точки пересечения двух линий:

1) х 2 + у 2 - 8; х - у =0;

2) х 2 + у 2 - 16х + 4у + 18 = 0; х + у = 0;

3) х 2 + у 2 - 2х + 4у - 3 = 0; х 2 + у 2 = 25;

4) х 2 + у 2 - 8y + 10у + 40 = 0; х 2 + у 2 = 4.

163. В полярной системе координат даны точки M 1 (l; π/3),M 2 (2; 0).М 3 (2; π/4), М 4 (√3; π/6) и M 5 (1; 2/3π). Установить, какие из этих точек лежат на линии, определенной в полярных координатах уравнением р = 2cosΘ, и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)

164. На линии, определенной уравнением p = 3/cosΘ найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а) π/3 , б) - π/3, в) 0, г) π/6. Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)

165. На линии, определенной уравнением p = 1/sinΘ, найти точки, полярные радиусьмкоторых равны следующим числам: а) 1 6) 2, в) √2 . Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)

166. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1) р = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) р = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Построить на черТёЖе следующие спйралй Архимеда: 1) р = 20; 2) р = 50; 3) p = Θ/π; 4) р = -Θ/π.

168. Построить на чертеже следующие гиперболиче-ские спирали: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Построить на чертеже следующие логарифми-ческие спирали: 1) р = 2 Θ ; 2) p = (1/2) Θ .

170. Определить длины отрезков, на которые рассе-кает спираль Архимеда р = 3Θ луч, выходящий из полюса и наклоненный к полярной оси под углом Θ = π/6. Сделать чертеж.

171. На спирали Архимеда р = 5/πΘ взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С. Сделать чертеж.

172. На гиперболической спирали P = 6/Θ найти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертеж.

173. На логарифмической спирали р = 3 Θ найти точку P, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертеж.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений

где х и у - координаты произвольной точки М (х ; у ), лежащей на данной линии, а t - переменная, называемая параметром .

Параметр t определяет положение точки (х ; у ) на плоскости.

Так, если

то значению параметра t = 2 соответствует на плоскости точка (4; 1), т.к. х = 2 + 2 = 4, y = 2 · 2 – 3 = 1.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания кривой называется параметрическим , а уравнения (1) - параметрическими уравнениями линии .

Рассмотрим примерыизвестных кривых, заданных в параметрическом виде.

1) Астроида:

где а > 0 – постоянная величина.

При а = 2 имеет вид:

Рис.4. Астроида

2) Циклоида: где а > 0 – постоянная.

При а = 2 имеет вид:

Рис.5. Циклоида

Векторное уравнение линии

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением

где t – скалярный переменный параметр.

Каждому значению параметра t 0 соответствует определённый вектор плоскости. При изменении параметра t конец вектора опишет некоторую линию (рис. 6).

Векторному уравнению линии в системе координат Оху

соответствуют два скалярных уравнения (4), т.е. уравнения проекций

на оси координат векторного уравнения линии есть её параметрические уравнения.

Рис.6. Векторное уравнение линии

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения , линия – траекторией точки, параметр t - время .