Вычисление периметра квадрата - важный навык. И речь идет не только о школьных занятиях. Ведь с помощью нехитрых математических действий можно с легкостью подсчитать количество нужного стройматериала. Например, для установки ограды по периметру квадратного участка или поклейки обоев в квадратной комнате.
Чтобы найти периметр квадрата, нужно знать значение одной из сторон, площадь либо радиус описанной окружности. Рассмотрим эти способы подробнее.
Как найти периметр квадрата, если дана одна сторона квадрата
- Периметр фигуры - сумма всех его сторон. Поскольку у квадрата всего 4 стороны, его периметр равен:
Р = а + в + с + д,
где Р - периметр,
а, в, с, д - стороны. - Зная, что у квадрата все стороны равны, упростим формулу:
Р = 4а,
где а - одна из сторон,
4 - сумма сторон. - Пример решения: если сторона равна 7, то
Р = 4*7 = 28.
Как найти периметр квадрата, если дана площадь квадрата
- Площадь квадрата рассчитывается по формуле:
S = а*а = а²,
где S - площадь,
а - любая сторона. - Перепишем формулу:
а² = S,
а = √S.
Пример решения: если площадь равна 121, то
а = √121 = 11. - Зная сторону квадрата, можем найти периметр:
Р = 4*а. - Пример решения: Р = 4*11 = 44.
Как найти периметр квадрата, если дан радиус описанной окружности
Предположим, нам дан квадрат и известен радиус окружности, описывающей его со всех сторон. Если провести диагональ между противоположными углами квадрата, то мы получим 2 треугольника с прямыми углами. В таком случае грех не воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит: «Сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы».
Что еще нам известно:
- Стороны в и с у 2-х треугольников равны, так как это стороны квадрата. Они же и катеты.
- У треугольников есть общая гипотенуза а, которая также является диаметром окружности.
- Диаметр равен двум радиусам (2r).
Приступим к нахождению периметра:
- По теореме Пифагора:
в² + с² = а²,
где в и с - катеты прямоугольного треугольника,
а - гипотенуза. - Зная, что а (гипотенуза) = 2r, а в = с, упростим формулу:
в² + в² = (2r)²,
2в² = 4(r)², сократим на 2:
в² = 2(r)²,
в = √2r, где
в - сторона квадрата. - Так как периметр квадрата равен сумме сторон, видоизменим формулу:
Р = 4√2r,
где Р - искомый периметр,
4 - сумма сторон,
√2r - длина стороны. - Упростим формулу:
Р = 4√2 * 4√r,
Р = 5,657r,
где Р - искомый периметр,
r - радиус окружности.
Пример решения:
Если радиус окружности равен 20:
Р = 5,657*20 = 113,14.
Цифры быстро забываются, но задачу всегда можно решить с помощью теоремы Пифагора:
в² + в² = (2*20)²,
2в² = 40²,
2в² = 1600, разделим на 2:
в² = 800,
в = √800,
в = 28,28,
где в - одна сторона.
И так,
Р = 4*28,29,
Р = 113,14.
Способов найти периметр квадрата немало, однако все они сводятся к тому, что периметр равен сумме всех сторон.
О том, что такое квадрат, многие помнят из школьного курса. Этот четырехугольник, который является правильным, имеет абсолютно равные углы и стороны. Оглянувшись вокруг, можно заметить, что нас окружает множество квадратов. Каждый день мы сталкиваемся с ними, и порой возникает необходимость найти площадь и периметр этой геометрической фигуры. Вычисление этих значений не принесет труда, если уделить несколько минут времени для просмотра данного видео урока, объясняющего простые правила проведения расчетов.
Обучающее видео “Как найти площадь и периметр квадрата”
Что необходимо знать о квадрате?
Прежде чем приступать к проведению вычислений, необходимо знать некоторые важные сведения об этой фигуре, среди которых:
- все стороны квадрата равны;
- все углы квадрата прямые;
- площадь квадрата – это способ исчисления того, как много места занимает фигура в двухмерном пространстве;
- двухмерное пространство – это лист бумаги или экран компьютера, где нарисован квадрат;
- периметр не является индикатором наполненности фигуры, однако позволяет работать с его сторонами;
- периметр – это сумма всех сторон квадрата;
- подсчитывая периметр, мы оперируем одномерным пространством, что означает фиксацию результата в метрах, а не метрах квадратных (площадь).
Как найти площадь квадрата?
Вычисление площади данной фигуры можно просто и легко объяснить на примере:
- предположим, что сторона квадрата равна 8 метрам;
- для подсчета площади любого прямоугольника нужно умножить значение одной его стороны на другую (8 х 8 = 64);
- поскольку мы умножаем метры на метры, то в результате получаем квадратные метры (м2).
Как найти периметр квадрата?
Зная, что все стороны данного прямоугольника равны, необходимо сделать следующие манипуляции, чтобы вычислить его периметр:
- сложите все четыре стороны квадрата (8 + 8 + 8 + 8 = 32);
- полученное значение будет периметром квадрата, зафиксированным в метрах.
Все формулы и исчисления, приведенные в рамках данной статьи, применимы для любого прямоугольника. Важно помнить, что когда речь идет о других прямоугольниках, которые не являются правильными, значение сторон будет разным, например 4 и 8 метров. Это означает, что для нахождения площади такого прямоугольника необходимо будет умножать разные по значению стороны фигуры, а не одинаковые.
Необходимо помнить и то, что площадь измеряется в квадратных, а периметр в простых метрах. Если периметр нарисовать в виде одной длинной линии, то его значение не изменится, что говорит о том, что исчисления проводятся в одномерном пространстве.
Площадь измеряется в двухмерном пространстве, о чем говорят квадратные метры, которые мы получаем, умножив метры на метры. Площадь является индикатором наполненности геометрической фигуры, и говорит нам о том, сколько воображаемого покрытия необходимо для того чтобы заполнить квадрат или другой прямоугольник.
Простые объяснения видео урока позволят быстро вычислить площадь и периметр не только квадрата, но и любого прямоугольника. Данные знания школьного курса будут полезны во время ремонта дома или на садовом участке.
Урок и презентация на тему: "Периметр и площадь прямоугольника"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 3 класса
Тренажер для 3 класса "Правила и упражнения по математике"
Электронное учебное пособие для 3 класса "Математика за 10 минут"
Что такое прямоугольник и квадрат
Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Значит, противоположные стороны равны друг другу.
Квадрат – это прямоугольник, у которого равны и стороны, и углы. Его называют правильным четырёхугольником.
Четырёхугольники, в том числе прямоугольники и квадраты, обозначаются 4 буквами – вершинами. Для обозначения вершин используют латинские буквы: A, B, C, D ...
Пример.
Читается так: четырёхугольник ABCD; квадрат EFGH.
Что такое периметр прямоугольника? Формула расчета периметра
Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон прямоугольника или сумма длины и ширины, умноженная на 2.Периметр обозначается латинской буквой P . Так как периметр - это длина всех сторон прямоугольника, то он периметр записывается в единицах длины: мм, см, м, дм, км.
Например, периметр прямоугольника АВСD обозначается как P ABCD , где А, В, С, D - это вершины прямоугольника.
Запишем формулу периметра четырехугольника ABCD:
P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)
Пример.
Задан прямоугольник ABCD со сторонами: AB=СD=5 см и AD=BC=3 см.
Определим P ABCD .
Решение:
1. Нарисуем прямоугольник ABCD с исходными данными.
2. Напишем формулу для расчета периметра данного прямоугольника:
P ABCD = 2 * (AB + BС)
P ABCD = 2 * (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см
Ответ: P ABCD = 16 см.
Формула расчета периметра квадрата
У нас есть формула для определения периметра прямоугольника.P
ABCD = 2 * (AB + BC)
Применим её для определения периметра квадрата. Учитывая, что все стороны квадрата равны, получаем:
P ABCD = 4 * AB
Пример.
Задан квадрат ABCD со стороной, равной 6 см. Определим периметр квадрата.
Решение.
1. Нарисуем квадрат ABCD с исходными данными.
2. Вспомним формулу расчета периметра квадрата:
P ABCD = 4 * AB
3. Подставим в формулу наши данные:
P ABCD = 4 * 6 см = 24 см
Ответ: P ABCD = 24 см.
Задачи на нахождение периметра прямоугольника
1. Измерь ширину и длину прямоугольников. Определи их периметр.
2. Нарисуй прямоугольник ABCD со сторонами 4 см и 6 см. Определи периметр прямоугольника.
3. Нарисуй квадрат СEOM со стороной 5 см. Определи периметр квадрата.
Где используется расчет периметра прямоугольника?
1. Задан участок земли, его нужно обнести забором. Какой длины будет забор?
В данной задаче необходимо точно рассчитать периметр участка, чтобы не купить лишний материал для постройки забора.
2. Родители решили сделать ремонт в детской комнате. Необходимо знать периметр комнаты и её площадь, чтобы правильно рассчитать количество обоев.
Определи длину и ширину комнаты, в которой ты живешь. Определи периметр своей комнаты.
Что такое площадь прямоугольника?
Площадь – это числовая характеристика фигуры. Площадь измеряется квадратными единицами длины: см 2 , м 2 , дм 2 и др. (сантиметр в квадрате, метр в квадрате, дециметр в квадрате и т.д.)В вычислениях обозначается латинской буквой S .
Для определения площади прямоугольника необходимо длину прямоугольника умножить на его ширину.
Площадь прямоугольника вычисляется умножением длины АК на ширину КМ. Запишем это в виде формулы.
S AKMO = AK * KM
Пример.
Чему равна площадь прямоугольника AKMO, если его стороны равны 7 см и 2 см?
S AKMO = AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см 2 .
Ответ: 14 см 2 .
Формула вычисления площади квадрата
Площадь квадрата можно определить, умножив сторону саму на себя.Пример.
В данном примере площадь квадрата вычисляется умножением стороны АB на ширину BC, но так как они равны, получается умножение стороны AB на AB.
S AВСО = AB * BC = AB * AB
Пример.
Определи площадь квадрата AKMO со стороной 8 см.
S AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см 2
Ответ: 64 см 2 .
Задачи на нахождение площади прямоугольника и квадрата
1.Задан прямоугольник со сторонами 20 мм и 60 мм. Вычисли его площадь. Запиши ответ в квадратных сантиметрах.2. Был куплен дачный участок размером 20 м на 30 м. Определи площадь дачного участка, ответ запиши в квадратных сантиметрах.
Данный материал содержит геометрические фигуры с измерениями. Приведённые измерения являются приблизительными и могут не совпадать с измерениями в реальной жизни. Содержание урока
Периметр геометрической фигуры
Периметр геометрической фигуры — это сумма всех её сторон. Чтобы вычислить периметр, нужно измерить каждую сторону и сложить результаты измерений.
Вычислим периметр следующей фигуры:
Это прямоугольник. Детальнее мы поговорим об этой фигуре позже. Сейчас просто вычислим периметр этого прямоугольника. Длина его равна 9 см, а ширина 4 см.
У прямоугольника противоположные стороны равны. Это видно на рисунке. Если длина равна 9 см, а ширина равна 4 см, то противоположные стороны будут равны 9 см и 4 см соответственно:
Найдём периметр. Для этого сложим все стороны. Складывать их можно в любом порядке, поскольку от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Периметр часто обозначается заглавной латинской буквой P (англ. perimeters ). Тогда получим:
P = 9 см + 4 см + 9 см + 4 см = 26 см.
Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны, нахождение периметра записывают короче — складывают длину и ширину, и умножают её на 2, что будет означать «повторить длину и ширину два раза»
P = 2 × (9 + 4) = 18 + 8 = 26 см.
Квадрат это тот же прямоугольник, но у которого все стороны равны. Например, найдём периметр квадрата со стороной 5 см. Фразу «со стороной 5 см» нужно понимать как «длина каждой стороны квадрата равна 5 см»
Чтобы вычислить периметр, сложим все стороны:
P = 5 см + 5 см + 5 см + 5 см = 20 см
Но поскольку все стороны равны, вычисление периметра можно записать в виде произведения. Сторона квадрата равна 5 см, и таких сторон 4. Тогда эту сторону, равную 5 см нужно повторить 4 раза
P = 5 см × 4 = 20 см
Площадь геометрической фигуры
Площадь геометрической фигуры — это число, которое характеризует размер данной фигуры.
Следует уточнить, что речь в данном случае идёт о площади на плоскости. Плоскостью в геометрии называют любую плоскую поверхность, например: лист бумаги, земельный участок, поверхность стола.
Площадь измеряется в квадратных единицах. Под квадратными единицами подразумевают квадраты, стороны которых равны единице. Например, 1 квадратный сантиметр, 1 квадратный метр или 1 квадратный километр.
Измерить площадь какой-нибудь фигуры означает выяснить сколько квадратных единиц содержится в данной фигуре.
Например, площадь следующего прямоугольника равна трём квадратным сантиметрам:
Это потому что в данном прямоугольнике содержится три квадрата, каждый из которых имеет сторону, равную одному сантиметру:
Справа представлен квадрат со стороной 1 см (он в данном случае является квадратной единицей). Если посмотреть сколько раз этот квадрат входит в прямоугольник, представленный слева, то обнаружим, что он входит в него три раза.
Следующий прямоугольник имеет площадь, равную шести квадратным сантиметрам:
Это потому что в данном прямоугольнике содержится шесть квадратов, каждый из которых имеет сторону, равную одному сантиметру:
Допустим, потребовалось измерить площадь следующей комнаты:
Определимся в каких квадратах будем измерять площадь. В данном случае площадь удобно измерить в квадратных метрах:
Итак, наша задача состоит в том, чтобы определить сколько таких квадратов со стороной 1 м содержится в исходной комнате. Заполним этим квадратом всю комнату:
Видим, что квадратный метр содержится в комнате 12 раз. Значит, площадь комнаты составляет 12 квадратных метров.
Площадь прямоугольника
В предыдущем примере мы вычислили площадь комнаты, последовательно проверив сколько раз в ней содержится квадрат, сторона которого равна одному метру. Площадь составила 12 квадратных метров.
Комната представляла собой прямоугольник. Площадь прямоугольника можно вычислить перемножив его длину и ширину.
Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно перемножить его длину и ширину.
Вернёмся к предыдущему примеру. Допустим, мы измерили длину комнаты рулеткой и оказалось, что длина составила 4 метра:
Теперь измерим ширину. Пусть она составила 3 метра:
Умножим длину (4 м) на ширину (3 м).
4 × 3 = 12
Как и в прошлый раз получаем двенадцать квадратных метров. Это объясняется тем, что измерив длину, мы тем самым узнаём сколько раз можно уложить в эту длину квадрат со стороной, равной одному метру. Уложим четыре квадрата в эту длину:
Затем мы определяем сколько раз можно повторить эту длину с уложенными квадратами. Это мы узнаём, измерив ширину прямоугольника:
Площадь квадрата
Квадрат это тот же прямоугольник, но у которого все стороны равны. Например, на следующем рисунке представлен квадрат со стороной 3 см. Фраза «квадрат со стороной 3 см» означает, что все стороны равны 3 см
Площадь квадрата вычисляется таким же образом, как и площадь прямоугольника — длину умножают на ширину.
Вычислим площадь квадрата со стороной 3 см. Умножим длину 3 см на ширину 3 см
В данном случае требовалось узнать сколько квадратов со стороной 1 см содержится в исходном квадрате. В исходном квадрате содержится девять квадратов со стороной 1 см. Действительно, так оно и есть. Квадрат со стороной 1 см, входит в исходный квадрат девять раз:
Умножив длину на ширину, мы получили выражение 3 × 3 , а это есть произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых равен 3. Иными словами выражение 3 × 3 представляет собой вторую степень числа 3. А значит процесс вычисления площади квадрата можно записать в виде степени 3 2 .
Поэтому вторую степень числа называют квадратом числа . При вычислении второй степени числа a , человек тем самым находит площадь квадрата со стороной a . Операцию возведения числа во вторую степень по другому называют возведением в квадрат .
Обозначения
Площадь обозначается заглавной латинской буквой S (англ. Square — квадрат). Тогда площадь квадрата со стороной a см будет вычисляться по следующему правилу
S = a 2
где a — длина стороны квадрата. Вторая степень указывает на то, что происходит перемножение двух одинаковых сомножителей, а именно длины и ширины. Ранее было сказано, что у квадрата все стороны равны, а значит равны длина и ширина квадрата, выраженные через букву a .
Если задача состоит в том, чтобы определить сколько квадратов стороной 1 см содержится в исходном квадрате, то в качестве единиц измерения площади нужно указывать см 2 . Это обозначение заменяет словосочетание «квадратный сантиметр» .
Например, вычислим площадь квадрат со стороной 2 см.
Значит, квадрат со стороной 2 см, имеет площадь, равную четырём квадратным сантиметрам:
Если задача состоит в том, чтобы определить сколько квадратов со стороной 1 м содержится в исходном квадрате, то в качестве единиц измерения нужно указывать м 2 . Это обозначение заменяет словосочетание «квадратный метр» .
Вычислим площадь квадрата со стороной 3 метра
Значит, квадрат со стороной 3 м, имеет площадь равную девяти квадратным метрам:
Аналогичные обозначения используются при вычислении площади прямоугольника. Но длина и ширина прямоугольника могут быть разными, поэтому они обозначаются через разные буквы, например a и b . Тогда площадь прямоугольника, длиной a и шириной b вычисляется по следующему правилу:
S = a × b
Как и в случае с квадратом, единицами измерения площади прямоугольника могут быть см 2 , м 2 , км 2 . Эти обозначения заменяют словосочетания «квадратный сантиметр», «квадратный метр», «квадратный километр» соответственно.
Например, вычислим площадь прямоугольника, длиной 6 см и шириной 3 см
Значит, прямоугольник длиной 6 см и шириной 3 см имеет площадь, равную восемнадцати квадратным сантиметрам:
В качестве единицы измерения допускается использовать словосочетание «квадратных единиц» . Например, запись S = 3 кв.ед означает, что площадь квадрата или прямоугольника равна трём квадратам, каждый из которых имеет единичную сторону (1 см, 1 м или 1 км ).
Перевод единиц измерения площади
Единицы измерения площади можно переводить из одной единицы измерения в другую. Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1 . Выразить 1 квадратный метр в квадратных сантиметрах.
1 квадратный метр это квадрат со стороной 1 м. То есть все четыре стороны имеют длину, равную одному метру.
Но 1 м = 100 см . Тогда все четыре стороны тоже имеют длину, равную 100 см
Вычислим новую площадь этого квадрата. Умножим длину 100 см на ширину 100 см или возведём в квадрат число 100
S = 100 2 = 10 000 см 2
Получается, что на один квадратный метр приходится десять тысяч квадратных сантиметров.
1 м 2 = 10 000 см 2
Это позволяет в будущем умножить любое количество квадратных метров на 10 000 и получить площадь, выраженную в квадратных сантиметрах.
Чтобы перевести квадратные метры в квадратные сантиметры, нужно количество квадратных метров умножить на 10 000.
А чтобы перевести квадратные сантиметры в квадратные метры, нужно наоборот количество квадратных сантиметров разделить на 10 000 .
Например, переведём 100 000 см 2 в квадратные метры. Рассуждать в этом случае можно так: «если 10 000 см 2 это один квадратный метр, то сколько раз 100 000 см 2 будут содержать по 10 000 см 2 »
100 000 см 2: 10 000 см 2 = 10 м 2
Другие единицы измерения можно переводить таким же образом. Например, переведём 2 км 2 в квадратные метры.
Один квадратный километр это квадрат со стороной 1 км . То есть все четыре стороны имеют длину, равную одному километру. Но 1 км = 1000 м . Значит, все четыре стороны квадрата также равны 1000 м . Найдём новую площадь квадрата, выраженную в квадратных метрах. Для этого умножим длину 1000 м на ширину 1000 м или возведём в квадрат число 1000
S = 1000 2 = 1 000 000 м 2
Получается, что на один квадратный километр приходится один миллион квадратных метров:
1 км 2 = 1 000 000 м 2
Это позволяет в будущем умножить любое количество квадратных километров на 1 000 000 и получить площадь, выраженную в квадратных метрах.
Чтобы перевести квадратные километры в квадратные метры, нужно количество квадратных километров умножить на 1 000 000.
Итак, вернёмся к нашей задаче. Требовалось перевести 2 км 2 в квадратные метры. Умножим 2 км 2 на 1 000 000
2 км 2 × 1 000 000 = 2 000 000 м 2
А чтобы перевести квадратные метры в квадратные километры, нужно наоборот количество квадратных метров разделить на 1 000 000 .
Например, переведём 3 500 000 м 2 в квадратные километры. Рассуждать в этом случае можно так: «если 1 000 000 м 2 это один квадратный километр, то сколько раз 3 500 000 м 2 будут содержать по 1 000 000 м 2 »
3 500 000 м 2: 1 000 000 м 2 = 3,5 км 2
Пример 2 . Выразить 7 м 2 в квадратных сантиметрах.
Умножим 7 м 2 на 10 000
7 м 2 = 7 м 2 × 10 000 = 70 000 см 2
Пример 3 . Выразить 5 м 2 13 см 2 в квадратных сантиметрах.
5 м 2 13 см 2 = 5 м 2 × 10 000 + 13 см 2 = 50 013 см 2
Пример 4 . Выразить 550 000 см 2 в квадратных метрах.
Узнаем сколько раз 550 000 см 2 содержит по 10 000 см 2 . Для этого разделим 550 000 см 2 на 10 000 см 2
550 000 см 2: 10 000 см 2 = 55 м 2
Пример 5 . Выразить 7 км 2 в квадратных метрах.
Умножим 7 км 2 на 1 000 000
7 км 2 × 1 000 000 = 7 000 000 м 2
Пример 6 . Выразить 8 500 000 м 2 в квадратных километрах.
Узнаем сколько раз 8 500 000 м 2 содержит по 1 000 000 м 2 . Для этого разделим 8 500 000 м 2 на 1 000 000 м 2
8 500 000 м 2 × 1 000 000 м 2 = 8,5 км 2
Единицы измерения площади земельных участков
Площади небольших земельных участков удобно измерять в квадратных метрах.
Площади более крупных земельных участков измеряются в арах и гектарах.
Ар (сокращённо: a ) — это площадь равная ста квадратным метрам (100 м 2 ). В виду частого распространения такой площади (100 м 2 ) она стала использоваться, как отдельная единица измерения.
К примеру, если сказано, что площадь какого-нибудь поля составляет 3 а, то нужно понимать, что это три квадрата площадью 100 м 2 каждый, то есть:
3 а = 100 м 2 × 3 = 300 м 2
В народе ар часто называют соткой , поскольку ар равен квадрату, площадью 100 м 2 . Примеры:
1 сотка = 100 м 2
2 сотки = 200 м 2
10 соток = 1000 м 2
Гектар (сокращенно: га) — это площадь, равная 10 000 м 2 . К примеру, если сказано, что площадь какого-нибудь леса составляет 20 гектаров, то нужно понимать, что это двадцать квадратов площадью 10 000 м 2 каждый, то есть:
20 га = 10 000 м 2 × 20 = 200 000 м 2
Прямоугольный параллелепипед и куб
Прямоугольный параллелепипед — это геометрическая фигура, состоящая из граней, ребер и вершин. На рисунке показан прямоугольный параллелепипед:
Желтым цветом показаны грани параллелепипеда, чёрным цветом — рёбра , красным — вершины .
Прямоугольный параллелепипед обладает длиной, шириной и высотой. На рисунке показано где длина, ширина и высота:
Параллелепипед, у которого длина, ширина и высота равны между собой, называется . На рисунке показан куб:
Объём геометрической фигуры
Объём геометрической фигуры — это число, которое характеризует вместимость данной фигуры.
Объём измеряется в кубических единицах. Под кубическими единицами подразумевают кубы длиной 1, шириной 1 и высотой 1. Например, 1 кубический сантиметр или 1 кубический метр.
Измерить объём какой-нибудь фигуры означает выяснить сколько кубических единиц вмещается в данную фигуру.
Например, объём следующего прямоугольного параллелепипеда равен двенадцати кубическим сантиметрам:
Это потому что в данный параллелепипед вмещается двенадцать кубов длиной 1 см, шириной 1 см и высотой 1 см:
Объём обозначается заглавной латинской буквой V . Одна из единиц измерения объема это кубический сантиметр (см 3 ). Тогда объём V рассмотренного нами параллелепипеда равен 12 см 3
V = 12 см 3
Объём любого параллелепипеда вычисляют следующим образом: перемножают его длину, ширину и высоту.
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты .
V = abc
где, a — длина, b — ширина, c — высота
Так, в предыдущем примере мы визуально определили, что объём параллелепипеда равен 12 см 3 . Но можно измерить длину, ширину и высоту данного параллелепипеда и перемножить результаты измерений. Мы получим тот же результат
Объём вычисляется таким же образом, как и объём прямоугольного параллелепипеда — перемножают длину, ширину и высоту.
Например, вычислим объём куба, длина которого 3 см. У куба длина, ширина и высота равны между собой. Если длина равна 3 см, то равны этим же трём сантиметрам ширина и высота куба:
Перемножаем длину, ширину, высоту и получаем объём, равный двадцати семи кубическим сантиметрам:
V = 3 × 3 × 3 = 27 см³
Действительно, в исходный куб вмещается 27 кубиков длиной 1 см
При вычислении объёма данного куба мы перемножили длину, ширину и высоту. Получилось произведение 3 × 3 × 3. Это есть произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен 3. Иными словами, произведение 3 × 3 × 3 является третьей степенью числа 3 и может быть записано в виде 3 3 .
V = 3 3 = 27 см 3
Поэтому третью степень числа называют кубом числа . При вычислении третьей степени числа a , человек тем самым находит объём куба, длиной a . Операцию возведения числа в третью степень по другому называют возведением в куб .
Таким образом, объём куба вычисляется по следующему правилу:
V = a 3
Где a — длина куба.
Кубический дециметр. Кубический метр
Не все объекты нашего мира удобно измерять в кубических сантиметрах. Например, объём комнаты или дома удобнее измерять в кубических метрах (м 3 ). А объём бака, аквариума или холодильника удобнее измерять в кубических дециметрах (дм 3 ).
Другое название одного кубического дециметра – один литр.
1 дм 3 = 1 литр
Перевод единиц измерения объёма
Единицы измерения объёма можно переводить из одной единицы измерения в другую. Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1 . Выразить 1 кубический метр в кубических сантиметрах.
Один кубический метр это куб со стороной 1 м. Длина, ширина и высота этого куба равны одному метру.
Но 1 м = 100 см . Значит, длина, ширина и высота тоже равны 100 см
Вычислим новый объём куба, выраженный в кубических сантиметрах. Для этого перемножим его длину, ширину и высоту. Либо возведём число 100 в куб:
V = 100 3 = 1 000 000 см 3
Получается, что на один кубический метр приходится один миллион кубических сантиметров:
1 м 3 = 1 000 000 см 3
Это позволяет в будущем умножить любое количество кубических метров на 1 000 000 и получить объём, выраженный в кубических сантиметрах.
Чтобы перевести кубические метры в кубические сантиметры, нужно количество кубических метров умножить на 1 000 000.
А чтобы перевести кубические сантиметры в кубические метры, нужно наоборот количество кубических сантиметров разделить на 1 000 000 .
Например, переведём 300 000 000 см 3 в кубические метры. Рассуждать в этом случае можно так: «если 1 000 000 см 3 это один кубический метр, то сколько раз 300 000 000 см 3 будут содержать по 1 000 000 см 3 »
300 000 000 см 3: 1 000 000 см 3 = 300 м 3
Пример 2 . Выразить 3 м 3 в кубических сантиметрах.
Умножим 3 м 3 на 1 000 000
3 м 3 × 1 000 000 = 3 000 000 см 3
Пример 3 . Выразить 60 000 000 см 3 в кубических метрах.
Узнаем сколько раз 60 000 000 см 3 содержит по 1 000 000 см 3 . Для этого разделим 60 000 000 см 3 на 1 000 000 см 3
60 000 000 см 3: 1 000 000 см 3 = 60 м 3
Вместимость бака, банки или канистры измеряют в литрах. Литр это тоже единица измерения объема. Один литр равен одному кубическому дециметру.
1 литр = 1 дм 3
Например, если вместимость банки составляет 1 литр, это значит что объём этой банки составляет 1 дм 3 . При решении некоторых задач может быть полезным умение переводить литры в кубические дециметры и наоборот. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1 . Перевести 5 литров в кубические дециметры.
Чтобы перевести 5 литров в кубические дециметры, достаточно умножить 5 на 1
5 л × 1 = 5 дм 3
Пример 2 . Перевести 6000 литров в кубические метры.
Шесть тысяч литров это шесть тысяч кубических дециметров:
6000 л × 1 = 6000 дм 3
Теперь переведём эти 6000 дм 3 в кубические метры.
Длина, ширина и высота одного кубического метра равны 10 дм
Если вычислить объём этого куба в дециметрах, то получим 1000 дм 3
V = 10 3 = 1000 дм 3
Получается, что одна тысяча кубических дециметров соответствует одному кубическому метру. А чтобы определить сколько кубических метров соответствуют шести тысячамл кубических дециметров, нужно узнать сколько раз 6 000 дм 3 содержит по 1 000 дм 3
6 000 дм 3 : 1 000 дм 3 = 6 м 3
Значит, 6000 л = 6 м 3 .
Таблица квадратов
В жизни часто приходиться находить площади различных квадратов. Для этого каждый раз требуется возводить исходное число во вторую степень.
Квадраты первых 99 натуральных чисел уже вычислены и занесены в специальную таблицу, называемую таблицей квадратов .
Первая строка данной таблицы (цифры от 0 до 9) это исходного числа, а первый столбец (цифры от 1 до 9) это исходного числа.
Например, найдём квадрат числа 24 по данной таблице. Число 24 состоит из цифр 2 и 4. Точнее, число 24 состоит из двух десятков и четырёх единиц.
Итак, выбираем цифру 2 в первом столбце таблицы (столбце десятков), а цифру 4 выбираем в первой строке (строке единиц). Затем, двигаясь вправо от цифры 2 и вниз от цифры 4, найдём точку пересечения. В результате окажемся на позиции, где располагается число 576. Значит, квадрат числа 24 есть число 576
24 2 = 576
Таблица кубов
Как и в ситуации с квадратами, кубы первых 99 натуральных чисел уже вычислены и занесены в таблицу, называемую таблицей кубов .
Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, длина которого 6 см, ширина 4 см, высота 3 см. Задача 7. Площади земельного участка, засеянные пшеницей и льном, пропорциональны числам 4 и 5. На какой площади засеяна пшеница, если под льном засеяно 15 га
Решение
Число 4 отражает площадь, засеянную пшеницей. А число 5 отражает площадь, засеянную льном.
Сказано что площади, засеянные пшеницей и льном пропорциональны этим числам.
Проще говоря, во сколько раз изменяются числа 4 или 5, во сколько же раз изменится и площадь, которая засеяна пшеницей или льном. Льном засеяно 15 га. То есть число 5, которое отражает площадь, засеянную льном, изменилось в 3 раза.
Тогда число 4, которое отражает площадь засеянную пшеницей, нужно увеличить в три раза
4 × 3 = 12 га
Ответ: пшеницей засеяно 12 га.
Задача 8. Длина зернохранилища 42 м, ширина составляет длины, а высота – 0,1 длины. Определите сколько тонн зерна вмещает зернохранилище, если 1 м 3 его весит 740 кг.
Решение
Определим сколько литров в минуту вливается через вторую трубу:
25 л/мин × 0,75 = 18,75 л/мин
Определим сколько литров в минуту вливается в бассейн через обе трубы:
25 л/мин + 18,75 л/мин = 43,75 л/мин
Определим сколько литров воды будет залито в бассейн за 13 ч 32 мин
43,75 × 13 ч 32 мин = 43,75 × 812 мин = 35 525 л
1 л = 1 дм 3
35 525 л = 35 525 дм 3
Переведём кубические дециметры в кубические метры. Это позволит вычислит объем бассейна:
35 525 дм 3: 1000 дм 3 = 35,525 м 3
Зная объём бассейна можно вычислить высоту бассейна. Подставим в буквенное уравнение V=abc имеющиеся у нас значения. Тогда получим:
V
= 35,525
a
= 5.8
b
= 3.5
c
= x
35,525 = 5,8 × 3,5 × x
35,525 = 20,3 × x
x
= 1,75 м
с = 1,75
Ответ: высота (глубина) бассейна составляет 1,75 м.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках