Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Постоянная функция.
Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , гдеC – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 ,y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.
Свойства постоянной функции.
Область определения: все множество действительных чисел.
Постоянная функция является четной.
Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .
Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
Асимптот нет.
Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.
Корень n-ой степени.
Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.
Корень n-ой степени, n - четное число.
Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .
Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.
Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.
Свойства функции корень n -ой степени при четных n .
Корень n-ой степени, n - нечетное число.
Функция корень n -ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.
При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n .
В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция
, научимся строить ее график
и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.
Функция вида , где title="a0"> называется квадратичной функцией.
В уравнении квадратичной функции:
a - старший коэффициент
b - второй коэффициент
с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола , которая для функции имеет вид:
Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками - это, так называемые "базовые точки". Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:
Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции имеет вид:
Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:
Обратите внимание, что график функции симметричен графику функции относительно оси ОХ.
Итак, мы заметили:
Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх .
Если старший коэффициент a<0 , то ветви параболы напрaвлены вниз .
Второй параметр для построения графика функции - значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции . На графике нули функции - это точки пересечения графика функции с осью ОХ.
Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .
В случае квадратичной функции нужно .
Теперь внимание!
В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.
И здесь возможны три случая:
1 . Если ,то уравнение не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если title="a>0">,то график функции выглядит как-то так:
2 . Если ,то уравнение имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если title="a>0">
3 . Если title="D>0">,то уравнение имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ:
Если title="a>0">,то график функции выглядит примерно так:
Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.
Следующий важный параметр графика квадратичной функции - координаты вершины параболы:
Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.
И еще один параметр, полезный при построении графика функции - точка пересечения параболы с осью OY.
Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .
То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).
Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.
1 . Функция задана формулой .
Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции
1 . Направление ветвей параболы.
Так как title="a=2>0">,ветви параболы направлены вверх.
2 . Найдем дискриминант квадратного трехчлена
Title="D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0">
Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.
Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение:
,
3 . Координаты вершины параболы:
4 . Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.
Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:
Этот способ можно несколько упростить.
1. Найдем координаты вершины параболы.
2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.
Воспользуемся результатами построения графика функции
Кррдинаты вершины параболы
Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3
Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2
Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:
Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:
2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид - в этом уравнении - координаты вершины параболы
или в уравнении квадратичной функции , и второй коэффициент - четное число.
Построим для примера график функции .
Теперь рассмотрим построение графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент - четное число.
Выделим в уравнении функции полный квадрат:
Следовательно, координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):
3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)
Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)
1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции - точки пересечения графика функции с осью ОХ:
(х-2)(х+1)=0, отсюда
2. Координаты вершины параболы:
3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.
Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:
График квадратичной функции.
Перед вами график квадратичной функции вида .
Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
- ширины графика функции
от значения коэффициента
,
- сдвига графика функции
вдоль оси
от значения
,
Сдвига графика функции
вдоль оси
от значения
- направления ветвей параболы от знака коэффициента
- координат вершины параболы
Для начала попробуй найти область определения функции:
Справился? Сравним ответы:
Все верно? Молодец!
Теперь попробуем найти область значений функции:
Нашел? Сравниваем:
Сошлось? Молодец!
Еще раз поработаем с графиками, только теперь чуть-чуть посложнее - найти и область определения функции, и область значений функции.
Как найти и область определения и область значений функции (продвинутый вариант)
Вот что получилось:
С графиками, я думаю, ты разобрался. Теперь попробуем в соответствии с формулами найти область определения функции (если ты не знаешь как это сделать, прочитай раздел про ):
Справился? Сверим ответы :
- , так как подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.
- , так как на ноль делить нельзя и подкоренное выражение не может быть отрицательным.
- , так как, соответственно при всех.
- , так как на ноль делить нельзя.
Однако, у нас остался еще один не разобранный момент…
Еще раз повторю определение и сделаю на нем акцент:
Заметил? Слово «единственный» - это очень-очень важный элемент нашего определения. Постараюсь объяснить тебе на пальцах.
Допустим, у нас есть функция, заданная прямой. . При, мы подставляем данное значение в наше «правило» и получаем, что. Одному значению соответствует одно значение. Мы даже можем составить таблицу различных значений и построить график данной функции, чтобы убедится в этом.
«Смотри! - скажешь ты, -« » встречается два раза!» Так быть может парабола не является функцией? Нет, является!
То, что « » встречается два раза далеко не повод обвинять параболу в неоднозначности!
Дело в том, что, при расчёте для, мы получили один игрек. И при расчёте с мы получили один игрек. Так что все верно, парабола является функцией. Посмотри на график:
Разобрался? Если нет, вот тебе жизненный пример сооовсем далекий от математики!
Допустим, у нас есть группа абитуриентов, познакомившихся при подаче документов, каждый из которых в разговоре рассказал, где он живет:
Согласись, вполне реально, что несколько ребят живут в одном городе, но невозможно, чтобы один человек жил в нескольких городах одновременно. Это как бы логичное представление нашей «параболы» - нескольким разным икс соответствует один и тот же игрек.
Теперь придумаем пример, когда зависимость не будет функцией. Допустим, эти же ребята рассказывали, на какие специальности они подали документы:
Здесь у нас совершенно другая ситуация: один человек может спокойно подать документы как на одно, так и на несколько направлений. То есть одному элементу множества ставится в соответствие несколько элементов множества. Соответственно, это не функция.
Проверим твои знания на практике.
Определи по рисункам, что является функцией, а что нет:
Разобрался? А вот и ответы :
- Функцией является - В,Е.
- Функцией не является - А, Б, Г, Д.
Ты спросишь почему? Да вот почему:
На всех рисунках кроме В) и Е) на один приходится несколько!
Уверена, теперь, ты с легкостью отличишь функцию от не функции, скажешь, что такое аргумент и что такое зависимая переменная, а так же определишь область допустимых значений аргумента и область определения функции. Приступаем к следующему разделу - как задать функцию?
Способы задания функции
Как ты думаешь, что означают слова «задать функцию» ? Правильно, это значит объяснить всем желающим, о какой функции в данном случае идет речь. Причем объяснить так, чтобы каждый понял тебя правильно и нарисованные людьми по твоему объяснению графики функций были одинаковы.
Как это можно сделать? Как задать функцию? Самый простой способ, который уже не раз применялся в этой статье - с помощью формулы. Мы пишем формулу, и, подставляя в нее значение, высчитываем значение. А как ты помнишь, формула - это закон, правило, по которому нам и другому человеку становится ясно, как икс превращается в игрек.
Обычно, именно так и делают - в заданиях мы видим уже готовые функции, заданные формулами, однако, существуют и другие способы задать функцию, про которые все забывают, в связи с чем вопрос «как еще можно задать функцию?» ставит в тупик. Разберемся во всем по порядку, а начнем с аналитического способа.
Аналитический способ задания функции
Аналитический способ это и есть задание функции с помощью формулы. Это самый универсальный и исчерпывающий и однозначный способ. Если у тебя есть формула, то ты знаешь о функции абсолютно все - ты можешь составить по ней табличку значений, можешь построить график, определить, где функция возрастает, а где убывает, в общем, исследовать ее по полной программе.
Рассмотрим функцию. Чему равно?
«Что это значит?» - спросишь ты. Сейчас объясню.
Напомню, что в записи выражение в скобках называется аргументом. И этот аргумент может быть любым выражением, не обязательно просто. Соответственно, каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении.
В нашем примере получится так:
Рассмотрим еще задание, связанное с аналитическим способом задания функции, которое будет у тебя на экзамене.
Найдите значение выражения, при.
Уверена, что сначала, ты испугался, увидев такое выражение, но в нем нет абсолютно ничего страшного!
Все как и в прошлом примере: каким бы ни был аргумент (выражение в скобках), мы его запишем вместо в выражении. Например, для функции.
Что же нужно сделать в нашем примере? Вместо надо написать, а вместо - :
сократить получившееся выражение:
Вот и все!
Самостоятельная работа
Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:
- , если
- , если
Справился? Сравним наши ответы: Мы привыкли, что функция имеет вид
Даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например.
Попробуй построить эту функцию самостоятельно.
Справился?
Вот как строила ее я.
Какое уравнение мы в итоге вывели?
Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой:
Вот как раз то, о чем мы говорили… Одному соответствует несколько.
Попробуем нарисовать то, что получилось:
Является ли то, что у нас получилось функцией?
Правильно, нет! Почему? Попробуй ответить на этот вопрос с помощью рисунка. Что у тебя вышло?
«Потому что одному значению соответствует несколько значений!»
Какой вывод мы можем из этого сделать?
Правильно, функция не всегда может быть выражена явно, и не всегда то, что «замаскировано» под функцию является функцией!
Табличный способ задания функции
Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. Да, да. Наподобие той, которой мы с тобой уже составляли. Например:
Здесь ты сразу подметил закономерность - игрек в три раза больше чем икс. А теперь задание на «очень хорошо подумать»: как ты считаешь, равносильная ли функция, заданная в виде таблицы, функции?
Не будем долго рассуждать, а будем рисовать!
Итак. Рисуем функцию, заданную обоями способами:
Видишь разницу? Дело совсем не в отмеченных точках! Присмотрись внимательнее:
Теперь увидел? Когда мы задаем функцию табличным способом, мы на графике отражаем только те точки, которые есть у нас в таблице и линия (как в нашем случае) проходит только через них. Когда мы задаем функцию аналитическим способом, мы можем взять любые точки, и наша функция ими не ограничивается. Вот такая вот особенность. Запоминай!
Графический способ построения функции
Графический способ построения функции не менее удобен. Мы рисуем нашу функцию, а другой заинтересованный человек может найти чему равен игрек при определенном икс и так далее. Графический и аналитический способы одни из самых распространенных.
Однако, здесь нужно помнить о чем мы с тобой говорили в самом начале - не каждая «загогулина» нарисованная в системе координат является функцией! Вспомнил? На всякий случай скопирую тебе сюда определение, что функцией является:
Как правило, люди обычно называют именно те три способа задания функции, которые мы разобрали - аналитический (с помощью формулы), табличный и графический, напрочь забывая о том, что функцию можно словесно описать. Как это? Да очень просто!
Словесное описание функции
Как же описать функцию словесно? Возьмем наш недавний пример - . Данную функцию можно описать «каждому действительному значению икс соответствует его утроенное значение». Вот и все. Ничего сложного. Ты, конечно, возразишь - «есть настолько сложные функции, которые словесно задать просто невозможно!» Да, есть и такие, но есть функции, которые описать словесно легче, чем задать формулой. Например: «каждому натуральному значению икс соответствует разница между цифрами, из которых он состоит, при этом за уменьшаемое берется наибольшее цифра, содержащиеся в записи числа». Теперь рассмотрим, как наше словесное описание функции реализуется на практике:
Наибольшая цифра в данном числе - , соответственно, - уменьшаемое, тогда:
Основные виды функций
Теперь перейдем к самому интересному - рассмотрим основные виды функций, с которыми ты работал/работаешь и будешь работать в курсе школьной и институтской математики, то есть познакомимся с ними, так сказать и дадим им краткую характеристику. Более подробно про каждую функцию читай в соответствующем разделе.
Линейная функция
Функция вида, где, - действительные числа.
Графиком данной функции служит прямая, поэтому построение линейной функции сводится к нахождению координат двух точек.
Положение прямой на координатной плоскости зависит от углового коэффициента.
Область определения функции (aka область допустимых значений аргумента) - .
Область значений - .
Квадратичная функция
Функция вида, где
Графиком функции является парабола, при ветви параболы направлены вниз, при — вверх.
Многие свойства квадратичной функции зависят от значения дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле
Положение параболы на координатной плоскости относительно значения и коэффициента показаны на рисунке:
Область определения
Область значений зависит от экстремума данной функции (точки вершины параболы) и коэффициента (направления ветвей параболы)
Обратная пропорциональность
Функция, задаваемая формулой, где
Число называется коэффициентом обратной пропорциональности. В зависимости от того, какое значение, ветви гиперболы находятся в разных квадратах:
Область определения - .
Область значений - .
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Функцией называется правило, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие единственный элемент множества.
- - это формула, обозначающая функцию, то есть зависимость одной переменной от другой;
- - переменная величина, или, аргумент;
- - зависимая величина - изменяется при изменении аргумента, то есть согласно какой-либо определенной формуле, отражающей зависимость одной величины от другой.
2. Допустимые значения аргумента , или область определения функции - это то, что связано с возможными, при которых функция имеет смысл.
3. Область значений функции - это то, какие значения принимает, при допустимых значениях.
4. Существует 4 способа задания функции:
- аналитический (с помощью формул);
- табличный;
- графический
- словесное описание.
5. Основные виды функций:
- : , где, - действительные числа;
- : , где;
- : , где.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.