В предшествующих главах было показано, что свет в зависимости от условий его изучения проявляет как волновые, так и корпускулярные свойства. Иногда в этом усматривают «противоречивость» свойств света, говорят о «корпускулярно-волновом дуализме». Однако правильнее относить эту «противоречивость» не к природе, а к нашим представлениям о ней, недостаточно приспособленным для описания сложных физических явлений.

В 1923-1924 гг. Луи де Бройль пришел к заключению, что если свет обладает и волновыми, и корпускулярными свойствами (фотоны), то и частицы вещества также могут обладать, кроме корпускулярных, и волновыми свойствами, о чем физики того времени не задумывались. Как известно, фотон характеризуется импульсом

и энергией

Де Бройль по аналогии предположил, что любой частице вещества массой т, движущейся со скоростью и, также можно сопоставить волновой процесс, причем длина волны должна равняться:

Так как кинетическая энергия частицы равна:

то длину волны можно выразить и через кинетическую энергию:

Кроме того, если полная энергия частицы в соответствии со специальной теорией относительности есть Е =т c 2 , то частице следует сопоставить и частоту

а также волновое число

Найдем теперь фазовую скорость волны де Бройля:

Так как ν ф связана с групповой скоростью волны соотношением:

то оказывается, что групповая скорость волны де Бройля равна скорости самой частицы:

Таким образом, волны де Бройля. Испытывают дисперсию даже в вакууме. Природу введенного им волнового процесса де Бройль не обсуждал. Во всяком случае, волны де Бройля не электромагнитные, так как они присущи и частицам, лишенным заряда либо движущимся с постоянной скоростью равномерно и прямолинейно, т.е. частицам, не дающим электромагнитного излучения. Дисперсия в вакууме также существует для волн электромагнитной природы. В параграфе 14.7 будут освещены еще некоторые свойства волн де Бройля.

Опытное подтверждение гипотезы де Бройля о существовании волновых свойств частиц вещества было получено в опытах Девиссона и Джермера, изучавших отражение электронов от поверхности кристаллов. В этих опытах было установлено два замечательных факта:

1) При изменении угла падения электронов данной скорости отражение имеет резко выраженный максимум при углах падения, удовлетворяющих условию Вульфа-Брэгга, полученному ранее для отражения рентгеновских лучей от кристаллов:

(здесь d - расстояние между атомными плоскостями кристалла, параллельными его поверхности, α – угол скольжения падающего пучка, λ - длина волны Де Бройля).

2) Еще более поразительным оказался второй результат. При данном угле падения и изменении скорости электронов v , что достигалось изменением анодного спряжения U , ускоряющего электроны, интенсивность отражение пучка периодически изменялась (рис. 12.1, кривая 1), причем эта закономерность напоминала закономерность, наблюдаемую при отражении рентгеновских волн различной длины от некоторого кристалла при неизменном угле падения (рис. 12.1, кривая 2).

Так как энергия электрона, приобретенная при прохождении разности потенциалов U , равна:

то абсциссы кривой 1 пропорциональны длинам волн де Бройля.

Оценка длин волн дает:

при (U=400 В, что отвечает условиям опыта, это дает

λ=6,2 x 10 -11 м.

Позже Дж. Томсон, П. С. Тартаковский и другие физики получили дифракционные кольца, пропуская электроны через тонкие слои металла (аналогия с опытами Дебая-Шерера в области рентгеновских лучей, см. § 4.5).

Электронная дифракционная картина очень похожа на рентгеновскую дебаеграмму. Чтобы доказать, что она не вызвана вторичными рентгеновскими лучами, возникающими при торможении электронов в веществе, вдоль фотопластинки, где образовывалась электронная дебаеграмма, создавалось магнитное поле. При этом вся картина смещалась поперек поля. Если бы картина создавалась рентгеновскими, лучами, то никакого смещения не получалось бы.

Позже дифракцию наблюдали и для более тяжелых заряженных частиц - протонов, ионов гелия и др., а также и для нейтральных атомов, причем соотношение (12.1) хорошо подтвердилось.

Так как длина волны де Бройля обратно пропорциональна" массе частицы, то у макроскопических тел волновые свойства практически не проявляются. Действительно, пылинка массой 10 -6 кг, движущаяся со скоростью 10 м/с, характеризуется очень малой длиной волны де Бройля (λ = 6,6-10 -29 м), не проявляющейся в современных экспериментах.

Частиц вещества

Двойственная корпускулярно-волновая природа

В 1924 г. французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу, согласно которой движение электрона, или какой-либо другой частицы, связано с волновым процессом. Длина волны этого процесса:

а частота ω = Е/ħ , т.е. корпускулярно-волновой дуализм присущ всем без исключения частицам.

Если частица имеет кинетическую энергию Е , то ей соответствует длина волны де Бройля:

Для электрона, ускоряемого разностью потенциалов , кинетическая энергия ,и длина волны

Å. (2.1)

Опыты Дэвиссона и Джермера (1927). Идея их опытов за­ключалась в следующем. Если пучок электронов обладает вол­новыми свойствами, то можно ожидать, даже не зная механиз­ма отражения этих волн, что их отражение от кристалла будет иметь такой же интерференционный характер, как у рентге­новских лучей.

В одной серии опытов Дэвиссона и Джермера для обнаруже­ния дифракционных максимумов (если таковые есть) измеря­лись ускоряющее напряжение электронов и одновременно положение детектора D (счетчика отраженных электронов). В опы­те использовался монокристалл никеля (кубической системы), сошлифованный так, как показано на рис.2.1.

Если его повернуть вокруг вертикаль­ной оси в положение, соответствующее ри­сунку, то в этом положении сошлифованная поверхность покрыта правильными рядами атомов, перпендикулярными к плоскости падения (плоскости рисунка), расстояние между которыми d= 0,215 нм.

Детектор перемещали в плоскости падения, меняя угол θ. При угле θ = 50° и ускоряю­щем напряжении U= 54Внаблюдался осо­бенно отчётливый максимум отраженных электронов, полярная диаграмма которого показана на рис.2.2.

Этот максимум можно истолковать как интерференционный максимум первого по­рядка от плоской дифракционной решетки с периодом

, (2.2)

что видно из рис.2.3. На этом рисун­ке каждая жирная точка представляет собой проекцию цепочки атомов, расположенных на прямой, перпендикулярной плоскости рисунка. Пе­риод d может быть измерен независи­мо, например, по дифракции рентге­новских лучей.

Вычисленная по формуле (2.1) дебройлевская длина волны для U= 54В равна 0,167 нм. Соответству­ющая же длина волны, найденная из формулы (2.2), равна 0,165 нм. Совпадение настолько хорошее, что полученный результат следует признать убедительным под­тверждением гипотезы де Бройля.

Другая серия опытов Дэвиссона и Джермера состояла в из­мерении интенсивности I отраженного электронного пучка при заданном угле падения, но при различных значениях ускоряю­щего напряжения U.

Теоретически должны появиться при этом интерференцион­ные максимумы отражения подобно отражению рентгеновских лучей от кристалла. От различных кристаллических плоскостей кристалла в результате дифракции падающего излучения на атомах исходят волны, как бы испытавшие зеркальное отраже­ние от этих плоскостей. Данные волны при интерференции усиливают друг друга, если выполняется условие Брэгга-Вульфа:

, m =1,2,3,…, (2.3)

где d - межплоскостное расстояние, α - угол скольжения.

Напомним вывод этой формулы. Из рис. 2.4 видно, что разность хода двух волн, 1 и 2, отразившихся зеркальноот соседних атомных слоев, АВС = . Следователь­но, направления, в которых возникают ин­терференционные максимумы, определяют­ся условием (2.3).

Теперь подставим в формулу (2.3) выра­жение (2.1) для дебройлевской длины вол­ны. Поскольку значения α и d экспериментаторы оставляли неизменными, то из формулы (2.3) следует, что

~т, (2.4)

т.е. значения , при которых образуются максимумы отра­жения, должны быть пропорциональны целым числам т = 1, 2, 3, ..., другими словами, находиться на одинаковых расстояни­ях друг от друга.

Это и было проверено на опыте, результаты которого пред­ставлены на рис.2. 5, где U представлено в вольтах. Видно, что максимумы интен­сивности I почти равноудалены друг от друга (такая же карти­на возникает и при дифракции рентгеновских лучей от крис­таллов).

Полученные Дэвиссоном и Джермером результаты весьма убедительно подтверждают гипотезу де Бройля. В теоретическом отношении, как мы видели, анализ дифракции дебройлевских волн полностью совпадает с дифрак­цией рентгеновского излучения.

Итак, характер зависимости (2.4) экспериментально подтвердился, однако наблюдалось некоторое расхождение с пред­сказаниями теории. А именно, между положениями экспери­ментальных и теоретических максимумов (последние показаны стрелками на рис. 2.5) наблюдается систематическое расхожде­ние, которое уменьшается с увеличением ускоряющего напря­жения U. Это расхождение, как выяснилось в дальнейшем, обу­словлено тем, что при выводе формулы Брэгга-Вульфа не было учтено преломление дебройлевских волн.

О преломлении дебройлевских волн. Показатель преломле­ния п дебройлевских волн, как и электромагнитных, определя­ется формулой

где и - фазовые скорости этих волн в вакууме и среде (кристалле).

Фазовая ско­рость дебройлевcкой волны - принципиально ненаблюдаемая величина. Поэтому формулу (2.5) следует преобразовать так, чтобы показатель преломления п можно было выразить через отношение измеряемых величин. Это можно сделать следующим образом. По определению, фазовая скорость

, (2.6)

где k - волновое число. Считая аналогично фотонам, что частота и дебройлевских волн тоже не меняется при переходе границы раздела сред (если такое предположение несправедливо, то опыт неизбежно укажет на это), представим (2.5) с уче­том (2.6) в виде

Попадая из вакуума в кристалл (металл), электроны оказыва­ются в потенциальной яме. Здесь их кине­тическая энергия возрастает на «глубину» потенциальной ямы (рис. 2.6). Из формулы (2.1), где ,следует, что λ~ Поэтому выражение (2.7) можно переписать так:

(2.8)

где U 0 - внутренний потенциал кристалла. Видно, что чем бо­льше U (относительно ), тем п ближе к единице. Таким обра­зом, п проявляет себя особенно при малых U ,и формула Брэг­га-Вульфа принимает вид

(2.9)

Убедимся, что формула Брэгга-Вульфа (2.9) с учетом пре­ломления действительно объясняет положения максимумов ин­тенсивности на рис. 2.5. Заменив в (2.9) п и λ согласно формулам (2.8) и (2.1) их выражениями через ускоряющую разность потенциалов U, т.е.

(2.11)

Теперь учтем, что распределение на рис.2.5 получено для никеля при значениях U 0 =15 B, d =0,203 нм и α =80°. Тогда (2.11) после несложных преобразований можно перепи­сать так:

(2.12)

Вычислим по этой формуле значение , например, для макси­мума третьего порядка (m = 3), для которого расхождение с формулой Брэгга-Вульфа (2.3) оказалось наибольшим:

Совпадение с действительным положением максимума 3-го по­рядка не требует комментариев.

Итак, опыты Дэвиссона и Джермера следует признать блес­тящим подтверждением гипотезы де Бройля.

Опыты Томсона и Тартаковского . В этих опытах пучок элек­тронов пропускался через поликристаллическую фольгу (по ме­тоду Дебая при изучении дифракции рентгеновского излучения). Как и в случае рентгеновского излучения, на фотопластинке, рас­положенной за фольгой, наблюдалась система дифракционных колец. Сходство обеих картин поразительно. Подозрение, что система этих колец порождается не электронами, а вторичным рентгеновским излучением, возникающим в результате паде­ния электронов на фольгу, легко рассеивается, если на пути рассеянных электронов создать магнитное поле (поднести по­стоянный магнит). Оно не влияет на рентгеновское излучение. Такого рода проверка показала, что интерференционная карти­на сразу же искажалась. Это однозначно свидетельствует, что мы имеем дело именно с электронами.

Г. Томсон осуществил опыты с быстрыми электронами (де­сятки кэВ), II.С. Тартаковский - со сравнительно медленными электронами (до 1,7 кэВ).

Опыты с нейтронами и молекулами. Для успешного наблю­дения дифракции волн на кристаллах необходимо, чтобы длина волны этих волн была сравнима с расстояниями между узлами кристаллической решетки. Поэтому для наблюдения дифракции тяжелых частиц необходимо пользоваться частицами с достаточ­но малыми скоростями. Соответствующие опыты по дифракции нейтронов и молекул при отражении от кристаллов были проде­ланы и также полностью подтвердили гипотезу де-Бройля в при­менении и к тяжелым частицам.

Благодаря этому было экспериментально доказано, что вол­новые свойства являются универсальным свойством всех час­тиц. Они не обусловлены какими-то особенностями внутренне­го строения той или иной частицы, а отражают их общий закон движения.

Опыты с одиночными электронами . Описанные выше опыты выполнялись с использованием пучков частиц. Поэтому возни­кает естественный вопрос: наблюдаемые волновые свойства вы­ражают свойства пучка частиц или отдельных частиц?

Чтобы ответить на этот вопрос, В. Фабрикант, Л. Биберман и Н. Сушкин осуществили в 1949 г. опыты, в которых применялись столь слабые пучки электронов, что каждый электрон проходил через кристалл заведомо поодиночке и каждый рассеянный элект­рон регистрировался фотопластинкой. При этом оказалось, что отдельные электроны по­падали в различные точки фотопластинки со­вершенно беспорядочным на первый взгляд образом (рис.2.7,а). Между тем при доста­точно длительной экспозиции на фотоплас­тинке возникала дифракционная картина (рис.2.7, б), абсолютно идентичная картине дифракции от обычного электронного пучка. Так было доказано, что волновыми свойст­вами обладают и отдельные частицы.

Таким образом, мы имеем дело с микро­объектами, которые обладают одновременно как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Это позволяет нам в дальней­шем говорить об электронах, но выводы, к которым мы придем, имеют совершенно об­щий смысл и в равной степени применимы к любым частицам.

Из формулы де Бройля следовало, что волновые свойства должны быть присущи любой частице вещества, имеющей массу и скорость . В 1929г. опыты Штерна доказали, что формула де Бройля справедлива и для пучков атомов и молекул. Он получил следующее выражение для длины волны:

Ǻ,

где μ – молярная масса вещества, N А – число Авогадро, R – универсальная газовая постоянная, Т – температура.

При отражении пучков атомов и молекул от поверхностей твердых тел должны наблюдаться дифракционные явления, которые описываются теми же соотношениями, что и плоская (двумерная) дифракционная решетка. Опыты показали, что кроме частиц, рассеянных под углом, равным углу падения, наблюдаются максимумы числа отраженных частиц под другими углами, определяемыми формулами двумерной дифракционной решетки.

Формулы де Бройля оказались справедливыми также для нейтронов. Это подтвердили опыты по дифракции нейтронов на приемниках.

Таким образом, наличие волновых свойств у движущихся частиц, обладающих массой покоя, есть универсальное явление, не связанное с какой-либо спецификой движущейся частицы.

Отсутствие волновых свойств у макроскопических тел объясняется следующим образом. Подобно той роли, кото­рую играет скорость света при решении вопроса о применимо­сти ньютоновской (нерелятивистской) механики, существует критерий, показывающий в каких случаях можно ограничиться классическими представлениями. Этот критерий связан с постоянной Планка ħ. Физическая размерность ħ равна (энергия )x(время ),или (им­пульс )x(длина ),или (момент импульса). Величину с такой размерностью называют действием. Постоянная Планка явля­ется квантом действия.

Если в данной физической системе значение некоторой характерной величи­ны Н сразмерностью действия сравнимо с ħ , то поведение этой системы может быть описано только в рамках квантовой тео­рии. Если же значение Н очень велико по сравнению с ħ , то поведение системы с высокой точностью описывают законы клас­сической физики.

Отметим, однако, что данный критерий имеет приближен­ный характер. Он указывает лишь, когда следует проявлять осторожность. Малость действия Н не всегда свидетельствует о полной неприменимости классического подхода. Во многих случаях она может дать некоторое качественное представление о поведении системы, которое можно уточнить с помощью квантового подхода.

Квантовая природа света. Волновые свойства света, обна­руживаемые в явлениях интерференции и дифракции, и корпуску­лярные свойства света, проявляющиеся при фотоэффекте и эф­фекте Комптона, кажутся взаимно исключающими друг друга. Однако такие противоречия существовали лишь в классиче­ской физике. Квантовая теория полностью объясняет с единых позиций все свойства света. Характерной чертой квантовой теории света является объяснение всех явлений, в том числе и тех, ко­торые ранее казались объяснимыми лишь с позиций волновой теории. Например, явления интерференции и дифракции света квантовая теория описывает как результат перераспределения фотонов в пространстве.

Распределение фотонов в пучках света при интерференции и дифракции описывается статистическими законами, дающими те же результаты, что и волновая теория. Однако торжество современной квантовой теории в объяснении всех световых явле­ний не означает, что никаких волн в природе нет.

Волновые свойства электрона. Полному отказу от волновых представлений о природе света препятствуют не только сила традиции, удобство волновой теории и трудность современной квантовой теории. Есть и более серьезная причина. В 1924 г. французский физик Луи де Б рой ль впервые высказал идею, согласно которой одновременное проявление корпускулярных и волновых свойств присуще не только свету, но и любому дру­гому материальному объекту. Эта идея была лишь теоретиче­ской гипотезой, так как в то время наука не располагала экспери­ментальными фактами, которые бы подтверждали существование волновых свойств у элементарных частиц и атомов. В этом зак­лючалось существенное отличие гипотезы де Бройля о волновых свойствах частиц от гипотезы Эйнштейна о существовании фото­нов света, выдвинутой им после открытия явления фотоэффекта.

Гипотеза де Бройля существовании волн материи была детально разработа­на, и полученные из нее следствия могли быть подвергнуты экспериментальной проверке. Основное предположение де Бройля заключалось в том, что любой материальный объект обладает волновыми свойствами и длина волны связана с его импульсом таким же соотношением, ка­ким связаны между собой длина свето­вой волны и импульс фотона. Найдем выражение, связывающее импульс фото­на р с длиной волны света. Импульс фотона определяется формулой:

Л. Де Бройль

рис.1 рис. 2

Из уравнения

Е= m с 2 = hv (2)

можно определить массу фотона:

Учитывая это, можно формулу преобразовать так:

Отсюда получаем для длины световой волны формулу:

Если это выражение справедливо, как предположил де Бройль, для любого материального объекта, то длина волны тела мас­сой т, движущегося со скоростью v, может быть найдена так:

Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Брой-ля подучили в 1927 г. независимо друг от друга американские физики К. Д. Дэвиссон и Л. X. Джермер и английский физик Д. П. Томсон. Дэвиссон и Джермер изучали отражение электрон­ных пучков от поверхности кристаллов на установке, схема кото­рой изображена на рисунке 1. Перемещая приемник электро­нов по дуге окружности, центр которой находится в месте паде­ния электронного пучка на кристалл, они обнаружили сложную зависимость интенсивности отраженного пучка от угла рис. 2. Отражение излучения только под определенными углами означа­ет, что это излучение представляет собой волновой процесс и его избирательное отражение есть результат дифракции на атомах кристаллической решетки. По известным значениям постоянной кристаллической решетки и d угла дифракционного максимума можно по уравнению Вульфа - Брэггов

вычислить длину волны дифрагировавшего излучения и сопоставить ее с дебройлевской длиной волны электронов, вы­
численной по известному ускоряющему напряжению U:

Вычисленная таким образом из опытных данных длина волны совпала по значению с дебройлевской длиной волны.

Интересны результаты другого опыта, в котором пучок электронов направлялся на монокристалл, но расположение при­емника и кристалла не изменялось. При изменении ускоряющего напряжения, т. е. скорости электронов, зависимость силы тока через гальванометр от ускоряющего напряжения имела вид, представленный на рисунке 3. Электронный пучок испытывал наиболее эффективное отражение при скоростях частиц, удовлет­воряющих - условию дифракционного максимума.

Последующие эксперименты полностью подтвердили правиль­ность гипотезы де Бройля и возможность использования урав­нения (6) для расчета длины волны, связанной с любым материальным объектом. Обнаружена дифракция не только эле­ментарных частиц (электрон, протон, нейтрон), но и атомов.

Выполнив расчеты длины дебройлевской волны для различных материальных объектов, можно понять, почему мы не замечаем в повседневной жизни волновых свойств окружающих нас тел. Их длины волн оказываются столь малыми, что проявление волновых свойств невозможно обнаружить. Так, для пули массой 10 г, движущейся со скоростью 660 м/с, длина дебройлевской волны равна:

Дифракция электронов на решетке кристалла никеля стано­вится заметной лишь при таких скоростях движения электронов, при которых их дебройлевская длина волны становится сравни­мой с постоянной решетки.

рис. 3 рис. 4

При этом условии дифракционная картина, получаемая от электронного пучка, становится подоб­ной картине дифракции пучка рентгеновских лучей с такой же длиной волны. На рисунке 4 представлены фотографии дифрак­ционных картин, наблюдающихся при прохождении пучка света (а) и пучка электронов (б) у края экрана.

Гипотеза де Бройля и атом Бора. Гипотеза о волновой при­роде электрона позволила дать принципиально новое объяснение стационарным состояниям в атомах. Для того чтобы понять это объяснение, выполним сначала расчет длины дебройлевской волны электрона, движущегося по первой разрешенной круговой орбите в атоме водорода. Подставив в уравнение (6) выраже­ние для скорости электрона на первой круговой орбите, получим:

Это значит, что в атоме водорода, находящемся в первом стационарном состоянии, длина дебройлевской волны электрона в точности равна длине его круговой орбиты! Для любой другой орбиты с порядковым номером п получаем:

Этот результат позволяет выразить постулат Бора о стацио­нарных состояниях в такой форме: электрон вращается вокруг ядра неопределенно долго, не излучая энергии, если на его орби­те укладывается целое число длин волн де Бройля.

Такая формулировка постулата Бора соединяет в себе одно­временно утверждение о наличии у электрона волновых и корпус­кулярных свойств, отражая его двойственную природу. Соедине­ние волновых и корпускулярных свойств в этом постулате проис­ходит потому, что при расчете длины волны электрона исполь­зуется модуль скорости, полученный при расчете движения электрона как заряженной частицы по круговой орбите радиуса r.

Взаимные превращения света и вещества. Глубокое единст­во двух различных форм материи - вещества в виде различных элементарных частиц и электромагнитного поля в виде фотонов - обнаруживается не только в двойственной корпускулярно-волновой природе всех материальных объектов, но главным образом в том, что все известные частицы и фотоны взаимно превращаемы.

Самый известный пример взаимных превращений частиц - это превращение пары электрон - позитрон в два или три гамма-кванта. Этот процесс наблюдается при каждой встрече электрона с позитроном и называется аннигиляцией (т.е. исчезновением). При аннигиляции строго выполняются законы сохранения энер­гии, импульса, момента импульса и электрического заряда (элект­рон и позитрон обладают равными зарядами противоположного знака), но материя в форме вещества исчезает, превращаясь в материю в форме электромагнитного излучения.

Процесс, обратный аннигиляции, наблюдается при взаимо­действии гамма-квантов с атомными ядрами. Гамма-квант, энер­гия которого превышает энергию покоя Ео=2m 0 c 2 пары элект­ рон - позитрон , может превратиться в такую пару.

Опыты по дифракции электронов и других частиц

Важным этапом в создании квантовой механики явилось уста­новление волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свой­ствах частиц была первоначально высказана как гипотеза фран­цузским физиком Луи де Бройлем (1924). Эта гипотеза появи­лась благодаря следующим предпосылкам.

Гипотеза де Бройля была сформулирована до опытов, подтверждаю­щих волновые свойства частиц. Де Бройль об этом позднее, в 1936 г. писал так: «...не можем ли мы предположить, что и электрон так же двойстве­нен, как и свет? На первый взгляд такая идея казалась очень дерзкой. Ведь мы всегда представляли себе электрон в виде электрически заряженной материальной точки, которая подчиняется законам классической динами­ки. Электрон никогда не проявлял волновых свойств, таких, скажем, ка­кие проявляет свет в явлениях интерференции и дифракции. Попытка приписать волновые свойства электрону, когда этому нет никаких экспе­риментальных доказательств, могла выглядеть как ненаучная фантазия».

В физике в течение многих лет господствовала теория, соглас­но которой свет есть электромагнитная волна. Однако после ра­бот Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и др. стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойст­ вами.

Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц - фотонов. Корпускуляр­ные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свой­ства. Итак, фотон - элементарная частица, движущаяся со скоростью света, обладающая волновыми свойствами и име­ ющая энергию е = hv , где v - частота световой волны.

Выражение для импульса фотона р ф получается из известной формулы Эйнштейна е = тс 2 и соотношений е = hv и р. = тс

(23.1)

где с - скорость света в вакууме, λ, - длина световой волны. Эта формула была

использована де Бройлем и для других микрочастиц -массой т, движущихся со скоростью и:

р = ти = h/λ откуда

(23.2)

По де Бройлю, движение частицы, например электрона, опи­сывается волновым

процессом с характеристической длиной вол­ны Я, в соответствии с формулой (23.2). Эти волны

называют вол­ нами де Бройля.

Гипотеза де Бройля была столь необычной, что многие круп­ные физики-современники не

придали ей какого-либо значения. Несколькими годами позже эта гипотеза получила экспери-

мен­тальное подтверждение: была обнаружена дифракция электро­нов.

Найдем зависимость длины волны электрона от ускоряющего напряжения U электрического

поля, в котором он движется. Из­менение кинетической энергии электрона равно работе сил поля:

Выразим отсюда скорость v и, подставив ее в (23.2), получим

Для получения пучка электронов с достаточной энергией, ко­торый можно зафиксировать, например, на экране осциллографа, необходимо ускоряющее напряжение порядка 1 кВ. В этом случае из (23.3) находим Я, = 0,4 10~ 10 м, что соответствует длине волны рентгеновского излучения.

Дифракция рентгеновских лучей наблюдается на кристаллических телах; следовательно, для диф­ракции электронов необходимо также использовать кристаллы.

К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля, Дж. П. Томсон и независи­мо от него П. С. Тартаковский - на металлической фольге (поли­кристаллическое тело). На рис. 23.1 изображена электронограм-ма - дифракционная картина, полученная от взаимодействия электронов с поликристаллической фольгой. Сравнивая этот ри­сунок с рис. 19.21, можно заметить сходство дифракции электро­нов и рентгеновских лучей.

Способностью дифрагировать обладают и другие частицы, как заряженные (протоны, ионы и др.), так и нейтральные (нейтро­ны, атомы, молекулы).

Аналогично рентгеноструктурному анализу можно применять дифракцию частиц для оценки степени упорядоченности располо­жения атомов и молекул вещества, а также для измерения пара­метров кристаллических решеток. В настоящее время широкое распространение имеют методы электронографии (дифракция электронов) и нейтронографии (дифракция нейтронов).

Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными час­тицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?

Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интен­ сивности, т. е. отдельных частиц, показали, что при этом электрон не «размазывается» по разным направ­ лениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения элект­ рона по отдельным направлениям в ре­ зультате взаимодействия с объектом дифракции различна. Наиболее вероят­ но попадание электронов в те места, ко­ торые по расчету соответствуют макси­ мумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности. Рис23.1

Электронный микроскоп.

Понятие об электронной оптике

Волновые свойства частиц можно использовать не только для дифракционного структурного анализа, но и для получения увеличенных изображений предмета.

Открытие волновых свойств электрона сделало возможным со­здание электронного микроскопа. Предел разрешения оптическо­го микроскопа (21.19) определяется в основном наименьшим зна­чением длины волны света, воспринимаемого глазом человека. Подставив в эту формулу значение длины волны де Бройля (23.3), найдем предел разрешения электронного микроскопа, в котором изображение предмета формируется электронными пучками:

(23.4

Видно, что предел разрешения г электронного микроскопа за­висит от ускоряющего напряжения U , увеличивая которое можно добиться, чтобы предел разрешения был значительно меньше, а разрешающая способность значительно больше, чем у оптическо­го микроскопа.

Электронный микроскоп и его отдельные элементы по своему назначению подобны оптическому, поэтому воспользуемся анало­гией с оптикой для объяснения его устройства и принципа дейст­вия. Схемы обоих микроскопов изображены на рис. 23.2 (а - оп­тический; б - электронный).

В оптическом микроскопе носителями информации о предмете АВ являются фотоны, свет. Источником света обычно служит лампа накаливания 1 . После взаимодействия с предметом (погло­щение, рассеяние, дифракция) поток фотонов преобразуется и со­держит информацию о предмете. Поток фотонов формируется с помощью линз: конденсора 3, объектива 4, окуляра 5. Изображе­ние AjBj регистрируется глазом 7 (или фотопластинкой, фотолю-минесцирующим экраном и т. д.).

В электронном микроскопе носителем информации об образце являются электроны, а их источником - подогреваемый катод 1. Ускорение электронов и образование пучка осуществляется фоку­сирующим электродом и анодом - системой, называемой элек­тронной пушкой 2. После взаимодействия с образцом (в основном рассеяние) поток электронов преобразуется и содержит информа­цию об образце. Формирование потока электронов происходит

под воздействием электрического поля (система электродов и кон­денсаторов) и магнитного (система катушек с током). Эти системы называют электронными линзами по аналогии с оптическими линзами, которые формируют световой поток (3 - конденсорная; 4 - электронная, служащая объективом; 5 - проекционная). Изображение регистрируется на чувствительной к электронам фотопластинке или катодолюминесцирующем экране 6.

Чтобы оценить предел разрешения электронного микроскопа, подставим в формулу (23.4) ускоряющее напряжение U = 100 кВ и угловую апертуру и порядка 10 2 рад (приблизительно такие уг­лы используют в электронной микроскопии). Получим г ~ 0,1 нм; это в сотни раз лучше, чем у оптических микроскопов. Примене­ние ускоряющего напряжения, большего 100 кВ, хотя и повыша­ет разрешающую способность, но сопряжено с техническими сложностями, в частности происходит разрушение исследуемого объекта электронами, имеющими большую скорость. Для биоло­гических тканей из-за проблем, связанных с приготовлением об­разца, а также с его возможным радиационным повреждением, предел разрешения составляет около 2 нм. Этого достаточно, что-

бы увидеть отдельные молекулы. На рис. 23.3 показаны нити бел­ка актина, имеющие диаметр примерно 6 нм. Видно, что они со­стоят из двух спирально закрученных цепей молекул белка.

Укажем некоторые особенности эксплуатации электронного микроскопа. В тех частях его, где пролетают электроны, должен быть вакуум, так как в противном случае столкновение электронов с молекулами воздуха (газа) приведет к искажению изображения. Это требование к электронной микроскопии усложняет процедуру исследования, делает аппаратуру более громоздкой и дорогой. Ва­куум искажает нативные свойства биологических объектов, а в ря­де случаев разрушает или деформирует их.

Для рассматривания в электронном микроскопе пригодны очень тонкие срезы (толщина менее 0,1 мкм), так как электроны сильно поглощаются и рассеиваются веществом.

Для исследования поверхностной геометрической структуры клеток, вирусов и других микрообъектов делают отпечаток их по­верхности на тонком слое пластмассы (реплику). Обычно предва­рительно на реплику в вакууме напыляют под скользящим (ма­лым к поверхности) углом слой сильно рассеивающего электроны тяжелого металла (например, платины), оттеняющий выступы и впадины геометрического рельефа.

К достоинствам электронного микроскопа следует отнести боль­шую разрешающую способность, позволяющую рассматривать крупные молекулы, возможность изменять при необходимости ус­коряющее напряжение и, следовательно, предел разрешения, а также сравнительно удобное управление потоком электронов с по­мощью магнитных и электрических полей.

Наличие волновых и корпускулярных свойств как у фотонов, так и у электронов и других частиц, позвол яет ряд положений и

законов оптики распространить и на описание движения заря­женных частиц в электрических и магнитных полях.

Эта аналогия позволила выделить как самостоятельный раздел электронную оптику - область физики, в которой изучается структура пучков заряженных частиц, взаимодействующих с электрическими и магнитными полями. Как и обычную оптику, электронную можно подразделить на геометрическую (лучевую) и волновую (физическую).

В рамках геометрической электронной оптики возможно, в ча­стности, описание движения заряженных частиц в электриче­ском и магнитном полях, а также схематическое построение изо­бражения в электронном микроскопе (см. рис. 23.2, б).

Подход волновой электронной оптики важен в том случае, ког­да проявляются волновые свойства заряженных частиц. Хорошей иллюстрацией этому является нахождение разрешающей способ­ности (предела разрешения) электронного микроскопа, приведен­ное в начале параграфа

Де Бройль выдвинул гипотезу: волновыми св-вами обладает любой материальный объект. Он использовал за-ны природы света. Носителями э/м поля являются фотоны.

(1) и (2) отражают двойственность природы света и любого э/м излучения.

Де Бройль предложил, что двойственность характерна для любого материального объекта. Из гипотезы де Бройля следует, что волновой механизм является свойством любой материи.

Длина волны де Бройля определяется формулой: ;

Волновые процессы, сопровождают любой объект, движущийся со скоростью V. Это не реальные, а мнимые процессы. Природного аналога эти процессы не имеют.

Эксперим. Док-ва гипотезы де Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера.

Электрон имеет , за счёт волновых свойств он должен давать диффракционную картину через кристалл.

ЭП-электронная пушка; Г-гальванометр;

D 1 , D 2 - диафранмы; ЦФ - цилиндр Фарадея; Ni - монокристалл;  - угол.

При  = const = 50°

Полученный результат можно было объяснить только диффракционным максимумом.

Опыты показали, что пучку эл-нов, ускоренному эл. полем присущи волновые св-ва, т.к. пучок эл-нов на монокристалле Ni даёт дифракцию.

Задание1 1 .

Суперпозиция плоских волн. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости. Волны де Бройля и их свойства. Волновой пакет и частица.

Суперпозиция плоских волн:

Волновой процесс, сопровождающий движение микрочастицы пытались объяснить следующими теориями:

а) С помощью монохромотичной волны. Это невозможно т.к. эта волна бесконечна в пространстве, а микрочастица занимает ограниченную область пространства, определенную ее размерами (след на экране осциллографа)

б) Суперпозиция монохроматических волн, омега и лямбда которых лежат в определенном диапазоне так, что складываясь эти волны дают амплитуду отличную от нуля. в ограниченной области пространства. Такая суперпозиция- волновой пакет.

S(x,t) – сложный волновой процесс.

волновой пакет:

S(x, t) = 2*A*delta k * sin(гамма)/гамма * cos(omega нулевое*t – k нулевое*х)

2*A*delta k * sin(гамма)/гамма – модулированная амплитуда волнового пакета

при гамма -> 0 sin(гамма)/гамма -> 1

при гамма -> +-пи*n sin(гамма)/гамма -> 0

при гамма > пи*n ; гамма < -пи*n sin(гамма)/гамма << 1

Пакет – суперпозиция монохромотических волн, зн-я волнового числа которого лежит в интервале от к(нулевое)-дельта к до к(нулевое)+дельта к

Волны де Бройля и их свойства:

Волны де Бройля описывают волновые свойства микрочастиц. Монохроматическая волна де Бройля имеет вид:

Движение микрочастицы характеризуется величинами Е и р

Е = h*ню = h(с чертой)*omega; omega = E/h(с чертой)

р = h(с чертой)*к; к = р/h(с чертой)

Одномерное движение вдоль оси х:

ПСИ(x,t) = A*exp(-i/h(с чертой) * (Е*t – р*х)

ПСИ(x,t) = A(x,t)*exp(-i/h(с чертой) * (Е*t – р*х)

В общем случае трехмерное пространство:

ПСИ(r ,t) = A*exp(-i/h(с чертой) * (Е*t – р, r )

ПСИ(r ,t) = A(r ,t)*exp(-i/h(с чертой) * (Е*t – р, r )

Свойства:

Фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света

Vф = omega/k = (h(с чертой)*омега)/(h(с чертой)*k) = E/p = (m*c^2)/(m*V) = c^2/V>c

Из этого свойства следует, что Vф не равна скорости передачи энергии, т к энергия не может передаваться со скоростью большей чем скорость света

Фазовая скорость является физической абстракцией.

Волны де Бройля обладают дисперсией в вакууме (в отличие от э-м волн)

Vф = f(V) = f(mV) = f(p) = {лямбда = h/p} = f(лямбда)

Vф = f(лямбда) – дисперсия

Групповая скорость волны де Бройля равна скорости движения микрочастиц

U = (d*omega)/(d*k) = d(h(с чертой)*omega)/d(h(с чертой)*k) = dE/dp = d/dp * (p^2/(2*m)) = (2*p)/(2*m) = p/m = p/m = V

В атоме водорода по Бору на каждой стационарной орбите укладывается целое число волн де Бройля:

mVr = nh(с чертой)

лямбда = h/p; p = h/лямбда = (2*пи*h(с чертой))/лямбда

2*пи*r = n*лямбда

Волновой пакет и частица:

Частицу нельзя описать ни монохроматической волной (т к волна бесконечна), ни пакетом волн де Бройля (т к время «жизни» волнового пакета delta t = m(электрона)/h * (delta x)^2 , потом он расползается (delta x = (2*пи)/delta k))

Волновые свойства можно описать только пользуясь теорией вероятности и статистикой.

1.Фазовая скорость Vф – скорость перемещ. знач. коорд-т с постоян. фазой

ωоdt – kodx=0

Vф=dx/dt=ωо/ko

Фазовая скор. в общ. случае определ-ся параметрами волны, т.е. они разные для разных волн, входящих в сост. волнового пакета.

2.Групповая скор . U – скор. перемещ-я постоян ампитуды(волн пакета).

А=const при γ0

γ=[(dω/dk)o*t-x] Δk

(dω/dk)o*t – x=0

(dω/dk)o*dt – dx=0

U=dx/dt=(dω/dk)o

Задание1 2 .

Статистическое истолкование волн де Бройля. Волновая функция и ее свойства. Нормировка волновой функции. Принцип суперпозиции.

Статистическое истолкование волн де Бройля:

ПСИ * ПСИ(с волной) = |ПСИ|^2 – пси по модулю в квадрате есть мера вероятности найти частицу в данной области пространства в данный момент времени

dw = |ПСИ|^2*dV – вероятность найти микрочастицу в бесконечно малом объеме вблизи точки XYZ в данный момент времени.

w(круглая) = dw/dV = |ПСИ|^2 – плотность вероятности обнаружить микрочастицу в единичном объеме вблизи точки XYZ в данный момент времени

w = ИНТЕГРАЛ (по V(нулевому))|ПСИ|^2 dV – в объеме V(нулевое)

т к ПСИ-функция является комплексной величиной, она не имеет физического смысла. Физический смысл есть только у величины |ПСИ|^2

Волновая функция

Необходимость учета волновых свойств в поведении частиц вещества и на наличие объективной неопределенности в этом поведении. Эти особенности квантовомеханического движения находят свое выражение в том, что состояние движения микрочастицы задается не координатами и импульсами, а некоторой волновой функцией координат и времени (x, y, z, t), являющейся в общем случае комплексной. В простейшем случае – движения свободной частицы в направлении , - такая функция (волновая), имеет вид плоской волны:

- плоская волна де Бройля ,

где  = -1 – мнимая единица, = k/ - волновой вектор, а || = k = 2/ - волновое число.

На волновую функцию, как функцию статистического (вероятностного) распределения, накладывается условие нормировки , согласно которому интеграл по всей области определения (объему) волновой функции должен быть равен едине:

.

Интеграл от плотности вероятности по всему объему представляет собой полную, т. е. 100 % - ую вероятность, вероятность достоверного события. Частица (если она существует) в каком-либо месте из всей доступной для нее области, должна обнаруживаться обязательно, со 100 % - ой вероятностью. Условие нормировки позволяет находить амплитуду волновой функции.

Принцип суперпозиции состояний. ПСИ и С-функции. Классические величины, вступая в суперпозицию, имеют другие значения в результате этой суперпозиции по сравнению с исходными.

В квантовой физике:

Пусть есть квантовая система частиц, которая может находится в состоянии, описываемом волновой функцией ПСИ1 и может находится в другом состоянии, описываемом волновой функцией ПСИ2, тогда эта система может находится в состоянии ПСИ, являющимся линейной суперпозицией состояний ПСИ1 и ПСИ2

ПСИ = С1*ПСИ1 + С2*ПСИ2, где С1, С2 – коэффициенты

общая формула (m различных состояний):

ПСИ = СУММА(от m=1 до n) Сm*ПСИm

Задание1 3 .

Соотношения неопределенностей Гейзенберга. Принцип соответствия.